質問＜２７２９＞２００５／１１／２７
from=絶対値苦手
「方程式」

次の方程式を解け
||x|-2|=√(|x^(2)-4x|+4)
という問題で、
答えはｘ＝０，４以上の実数となっています。
途中式がさっぱりのなので、教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２９
from=けんさん

まず絶対値について次の2点を抑えておきましょう。
�@の１│ｘ│＝ｘ（ｘが正のとき）
�@の２　│ｘ│＝−ｘ（ｘが負のとき）

�A│ｘ│＾２＝ｘ＾２

解答
まず両辺を２乗します。
�Aより
左辺＝││ｘ│−２│＾２＝（│ｘ│−２）＾２
　　＝│ｘ│＾２−４│ｘ│＋４
　　＝ｘ＾２−４│ｘ│＋４（また�Aを使ってマス）
右辺はルートがとれるだけなので
ｘ＾２−４│ｘ│＋４＝│ｘ＾２−４ｘ│＋４
よって　ｘ＾２−４│ｘ│＝│ｘ＾２−４ｘ│

（ここから、絶対値を「はずす」ために「�@を使って場合わけ」をします。）

(ｱ)ｘ＜０のとき
　│ｘ│＝−ｘ（�@の２）
　│ｘ＾２−４ｘ│＝ｘ＾２−４ｘ
（絶対値の中が正になるので�@の１の場合になります。
わかりにくければｘに何か負の数を入れてみてください）
よってｘ＾２＋４ｘ＝ｘ＾２−４ｘとなります
コレを解くとｘ＝０となるのですが(ｱ)の範囲外ですね。

(ｲ)０≦ｘ＜４のとき
│ｘ│＝ｘ（�@の１）
│ｘ＾２−４ｘ│＝−（ｘ＾２−４ｘ）（�@の２）
よってｘ＾２−４ｘ＝−（ｘ＾２−４ｘ）
コレを解くとｘ＝０，４となりますが(ｲ)の範囲から考えてｘ＝０が正解。

(ｳ)４≦ｘのとき
│ｘ│＝ｘ（�@の１）
│ｘ＾２−４ｘ│＝ｘ＾２−４ｘ（�@の１）
よってｘ＾２−４ｘ＝ｘ＾２−４ｘ
コレはどんなｘについても成り立ちます。
ですからｘが４以上のときは、すべてのｘについて成り立つ、となります。
(ｱ)(ｲ)(ｳ)より
ｘ＝０または４≦ｘのすべての実数（答）となります。

なぜ、０と４で区切って考えたかはわかりますか？
絶対値の中身　ｘ＾２−４ｘ＞０または＜０を考えてみてください。
場合わけをする場合、イコールはどちら側に入れてもよいと思います。

長くなりましたが、参考にしてください。