質問＜２９１２＞２００６／２／５
from=nao
「整数問題」

(1)　15x+28y=4をみたす整数の組(X,Y)を１組求めよ。
(2)　15x+28y=4をみたす整数の組(X,Y)を全て求めよ。

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／５
from=武田

15x+28y=4のことを不定方程式と言う。
次のようにして解くと良い。
２８÷１５＝１…１３
１５÷１３＝１…２
１３÷２＝６…１
より、
15x+(15*1+13)y=4
15(x+y)+13y=4
(13*1+2)(x+y)+13y=4
13(x+y+y)+2(x+y)=4
(2*6+1)(x+2y)+2(x+y)=4
2(6x+12y+x+y)+(x+2y)=4
2(7x+13y)+(x+2y)=4

x+2y=nとおくと、
2(7x+13y)=4-n

連立して、
｛ｘ＋２ｙ＝ｎ　　　　　　………�@
｛１４ｘ＋２６ｙ＝４−ｎ　………�A
�@×１４−�Aより、
２ｙ＝１５ｎ−４
∴ｙ＝（１５ｎ−４）／２　………�B
�Bを�@に代入して、
ｘ＋２（１５ｎ−４）／２＝ｎ
∴ｘ＝４−１４ｎ

（１）ｘとｙが整数になるのは、
　　　例えば、ｎ＝２のとき、
　　　　　　　ｙ＝１３とｘ＝−２４
　　　∴（ｘ，ｙ）＝（−２４，１３）

（２）問題の１５ｘ＋２８ｙ＝４より、
　　　　　　ｘ＝−２４＋２８ｍ
　　　　　　ｙ＝　１３−１５ｍ
　　　　　　　　　ただし、ｍは整数
　　　∴（ｘ，ｙ）＝（−２４＋２８ｍ，１３−１５ｍ）ただし、ｍは整数

お便り２００６／８／１７
from=maro

質問＜２９１２＞の解答に
（２）問題の１５ｘ＋２８ｙ＝４より、
　　　　　　ｘ＝−２４＋２８ｍ
　　　　　　ｙ＝　１３−１５ｍ
　　　　　　　　　ただし、ｍは整数
　　　∴（ｘ，ｙ）＝（−２４＋２８ｍ，１３−１５ｍ）ただし、ｍは整数

とありますが、なぜこうような式になったのでしょうか？
いくら考えてもわかりません教えて下さい

お返事２００６／８／１８
from=武田

問題の１５ｘ＋２８ｙ＝４のことを不定方程式と言う。
解き方はいろいろあるようだが、私は次のようにして解いた。
２つの係数の大きい方を小さい方で割っていく。
………上を参照………

片一方の係数が１になるまで続けると
2(7x+13y)+(x+2y)=4となるから、
（１４ｘ＋２６ｙ）＋（ｘ＋２ｙ）＝４
係数が１の方の（　）をｎとおく。
ｘ＋２ｙ＝ｎより、１４ｘ＋２６ｙ＝４−ｎ
これを連立して、
｛ｘ＋２ｙ＝ｎ　　　　　　………�@
｛１４ｘ＋２６ｙ＝４−ｎ　………�A
………上を参照………

｛ｘ＝４−１４ｎ
｛ｙ＝（１５ｎ−４）／２
が答えとなるので、
その中から整数となるものを見つけると良い。ｙの方が分数なので、
注意して見つけると、ｎ＝２より
　　　∴（ｘ，ｙ）＝（−２４，１３）

一般解は、この上の特殊解に不定方程式１５ｘ＋２８ｙ＝４の係数を
つけて、下記のように作る。符号は反対となる。ｘの方に２８をつけると、
１５・２８＝４２０、ｙの方に１５をつけると、２８・１５＝４２０
これが消滅するには、符号を反対にするしかない。
　　　　　　ｘ＝−２４＋２８ｍ
　　　　　　ｙ＝　１３−１５ｍ
　　　　　　　　　ただし、ｍは整数
こうすると、
不定方程式１５ｘ＋２８ｙ＝４の解として満足する。確認のため、代入してると、
左辺＝１５ｘ＋２８ｙ
　　＝１５（−２４＋２８ｍ）＋２８（１３−１５ｍ）
　　＝−３６０＋４２０ｍ＋３６４−４２０ｍ
　　＝４＝右辺

　　　∴（ｘ，ｙ）＝（−２４＋２８ｍ，１３−１５ｍ）ただし、ｍは整数